واگرایی یک میدان بردار چیست؟

واگرایی یک میدان بردار اندازه گیری جریان خالص شار در اطراف یک نقطه معین است. این یک اصطلاح اساسی است و در بسیاری از اصطلاحات الکترومغناطیسی مورد استفاده قرار می گیرد. در این مقاله ، واگرایی یک قسمت بردار با جزئیات مشخص شده است.

تعریف رسمی از واگرایی

واگرایی میدان بردار در یک نقطه معین ، شار خالص بیرونی در هر واحد است زیرا حجم در آن نقطه کاهش می یابد (تمایل به صفر) دارد.

معنی آن با کلمات ساده است

هر قسمت بردار و هر نقطه ای را در آن در نظر بگیرید. بگذارید یک حجم فرضی نامتناهی کوچک در اطراف نقطه در نظر گرفته شود.

اگر خطوط میدان که خارج از حجم فرضی می روند بیشتر از آن است که در داخل آن قرار بگیرد ، می توان گفت که میدان بردار در خارج از آن نقطه پخش می شود. از نظر فنی ، این زمینه در اطراف آن نقطه منحرف است.

ساده ترین مترادف برای واگرایی "خروج" است. بیشتر این است که واگرایی بیشتر خطوط میدانی در خارج از آن نقطه است و باید به عنوان واگرایی مثبت در نظر گرفته شود. برخلاف آن ، اگر خطوط میدان تمایل به ورود به سیستم داشته باشند ، می توانیم بگوییم که این زمینه در آن نقطه جمع می شود که خلاف "خروج" است و از این رو به عنوان واگرایی منفی در نظر گرفته می شود.

واگرایی با جزئیات توضیح داد

به عبارت ساده ، این در مورد ماهیت حوزه در نقطه معین به ما می گوید. منظور من این است که بگویم واگرایی است یا مکالمه (واگرایی منفی). همچنین باید میزان واگرایی برای تجزیه و تحلیل دو یا چند امتیاز را نشان دهد.

دوباره قسمت بردار را در نظر بگیرید و بگذارید بگوییم که ما علاقه مند به یافتن واگرایی در نقطه P هستیم همانطور که در شکل بالا نشان داده شده است. سطح نزدیک بی نهایت کوچک را ترجیحاً یک مکعب در اطراف نقطه p با حجم ∆V در نظر بگیرید.

ساده ترین مترادف برای واگرایی "خروج" است. بیشتر این است که واگرایی بیشتر خطوط میدانی در خارج از آن نقطه است و باید به عنوان واگرایی مثبت در نظر گرفته شود. برخلاف آن ، اگر خطوط میدان تمایل به ورود به سیستم داشته باشند ، می توانیم بگوییم که این زمینه در آن نقطه جمع می شود که خلاف "خروج" است و از این رو به عنوان واگرایی منفی در نظر گرفته می شود.

سطح نزدیک چیست

سطح نزدیک سطح بیرونی برخی از شیء 3D واقعی است. در صورت داشتن تنها منطقه ، سطح باز یا سطح طبیعی. اکنون می دانیم که شیء واقعی سه بعدی دارای حجم و سطح بیرونی خواهد بود.

ما عمداً سطح بسته را در اطراف نقطه فرض می کنیم تا بتوانیم شار مزرعه ای را که از این سطح نزدیک بیرون می آید پیدا کنیم. آیا می توانید حدس بزنید که چرا شار میدان را که از این سطح بیرون می آید محاسبه می کنیم؟

دلیلش خیلی ساده است! ما می توانیم با شمارش تعداد کل خطوط میدانی که در خارج از این سطح نزدیک قرار دارند در مقابل تعداد کل خطوطی که در داخل آن قرار دارند ، در مورد خروج این میدان استنباط کنیم. و بهترین راه برای پیش بینی خطوط میدان ، شار است.

حال چگونه می توان شار خالص را که از این مکعب بیرون می آید پیدا کنیم؟ساده ، با استفاده از ادغام سطح. ما باید ادغام سطح را برای هر سطح (با توجه به جهت بردار واحد به سمت خارج) مکعب اعمال کنیم و هر بار که جواب جواب می شود ، کل شار از آن سطح مربوطه خواهد بود. با ترکیب همه ، کل ادغام سطح نزدیک ، شار خالص را که از مکعب/سطح نزدیک بیرون می آید به ما می دهد.

حال اگر جواب این شار خالص مثبت باشد ، می توانیم بگوییم که چند خط از این زمینه بیش از آنچه در داخل می آیند بیرون می آیند. از این رو این میدان واگرا است. اگر شار خالص منفی باشد ، می توانیم بگوییم که خطوط بیشتری به مکعب می آیند تا از این رو همگرا شوند. سرانجام ، اگر شار خالص صفر باشد ، می توان گفت خطوطی که وارد مکعب می شوند از آن خارج می شوند. از این رو واگرایی صفر.

بنابراین تمام خصوصیات لازم که واگرایی را تعریف می کنند می توانند از این شار خالص که از سطح نزدیک بی نهایت (بسیار کوچک) در اطراف نقطه معین خارج می شود ، استخراج شد. دقیقاً باید این سطح نزدیک را تا حد ممکن کوچک نگه داریم. به عبارت دیگر ، حجم آن باید به صفر نزدیک شود. از این رو سرانجام واگرایی را می توان تعریف و به شرح زیر نشان داد.

نماد واگرایی

عملیات واگرایی به عملکرد/میدان بردار اعمال می شود. بگذارید بگوییم میدان بردار به عنوان نماد واگرایی و یا نمایندگی به شرح زیر است-

فرمول های واگرایی در سیستم های مختصات مختلف

مشتق شهودی فرمول واگرایی

واگرایی نشانگر خروج این حوزه در نقطه مورد علاقه است. بگذارید میدان وکتور A موجود باشد و در این زمینه می گویند نقطه P وجود دارد. قسمت بردار به این معنی است که می خواهم عملکرد بردار داده شده x ، y و z را بگویم. من فرضیه های دکارتی را برای سادگی فرض می کنم. بنابراین زمینه A (x ، y ، z) است. بگذارید بگوییم که می خواهیم واگرایی میدان را در اطراف این نقطه p. تجزیه و تحلیل کنیم.

واگرایی را می توان به عنوان تعداد خالص خطوط یا شار خالص میدان که از حجم بی نهایت در نقطه معین قرار می گیرد ، تصور کرد. اینطور نیست؟بنابراین اجازه دهید حجم بسیار کوچک یا بی نهایت را به شکل مکعب در اطراف نقطه P فرض کنیم.

همانطور که از دانش سیستم مختصات دکارتی می دانیم که با تغییر هر سه طول یعنی در امتداد محورهای x ، y و z می توان حجم را تشکیل داد. بنابراین بگذارید بگوییم حجم بی نهایت ما دارای لبه های DX ، DY و DZ است. به عبارت دیگر ، این حجم DV = dx dy dz را خواهد داشت. نقطه P در قلب مکعب است.

قسمت بردار A در همه جا و از این رو در P نیز وجود دارد. بگذارید مختصات نقطه P (A ، B ، C) و مقدار عملکرد/میدان در این نقطه P (A ، B ، C) A (A ، B ، C) باشد.

اکنون ، ممکن است در مورد سری تیلور آگاهی داشته باشید. این یک سری گسترش ریاضی از عملکرد در اطراف نقطه خاص است. به عبارت دیگر ، با استفاده از گسترش سری تیلور ، ما در واقع از منظر نقطه معین به عملکرد می پردازیم. ما عملکرد داده شده را با استفاده از مقدار عملکرد در آن نقطه خاص و تغییر عملکرد (البته با استفاده از مشتقات) در اطراف آن نقطه بیان می کنیم. در واقع ، دلیل این بحث این است که ما قصد داریم زمینه/عملکرد بردار خود را با استفاده از سری تیلور در نقطه P بیان کنیم.

برای سادگی فقط جزء X را در نظر بگیرید. بگذارید مؤلفه های Y و Z را ترک کنیم ، که به راحتی توسط قیاس می توان نوشت. بنابراین با استفاده از گسترش سری تیلور ، مؤلفه X عملکرد داده شده A را می توان به شرح زیر بیان کرد. توجه داشته باشید که ما فقط عملکرد داده شده را با روش دیگری نشان می دهیم. این چیزی از عملکرد اصلی را تغییر نمی دهد. ما این کار را برای سهولت محاسبات انجام می دهیم.

در خطوط مشابه a_yو الف_zمؤلفه ها را می توان برای عملکرد داده شده بیان کرد. ما همچنین می توانیم از اصطلاح مشتق مرتبه بالاتر غفلت کنیم زیرا در حال بررسی حجم بسیار کمی هستیم. بنابراین ما به تازگی زمینه بردار داده شده خود را با ارائه های مختلف یعنی با استفاده از سریال نشان داده ایم. با استفاده از این نمایندگی ، می بینید که این تابع به عنوان مقدار آن در نقطه P (A ، B ، C) و تغییر عملکرد در امتداد محور x ، y و z از آن نقطه تغییر می کند.

حال به یاد بیاوریم که واگرایی چیزی نیست جز شار خالص میدان بردار که از حجم کوچک (سطح نزدیک) بیرون می آید که در اطراف p تشکیل شده است. حال چگونه شار میدان را محاسبه می کنیم؟ادغام سطح را به یاد بیاورید. ما شار را با استفاده از فرمول زیر پیدا می کنیم. در اینجا A میدان بردار است و DS سطح بی نهایت سطح داده شده است که از آن شار محاسبه می شود.

اکنون برای پرونده ما ، ما می توانیم از ادغام غافل شویم زیرا در حال حاضر فرض می کنیم مورد بی نهایت. بنابراین با کلمات ساده برای شار مورد ما ضرب می تواند میدان بردار و ناحیه بی نهایت باشد.

حال همانطور که از شکل مشاهده می شود ، اگر می خواهم کل شار را که از این مکعب بیرون می آید محاسبه کنم ، باید فرمول شار را برای شش بار اعمال کنم. هر بار برای یک سطح واحد ، اینطور نیست؟اما برای سادگی ، ما فقط X-th e-th e-th e-th e-the Field Field را در نظر گرفته ایم. بنابراین همانطور که از شکل می بینید ، شار را فقط برای سطوح چپ و راست محاسبه خواهیم کرد. X-components o f میدان داده شده به سطوح بالا ، پایین و جانبی مماس می رود. بنابراین سهم شار برای این سطح برای A صفر خواهد بود_x.

بنابراین اجازه دهید سطح سمت راست را بگیریم. مساحت این سطح Dydz است. اکنون برای شار ، می خواهیم مقدار میدان را در محل این سطح قرار دهیم. ما آن را با استفاده از گسترش سری تیلور همانطور که در بالا مشاهده می شود ، خواهیم نوشت. بگذارید یک بار دیگر در اینجا نمایندگی کنم.

از بیان فوق ، در ابتدا ، می توانیم شرایط مشتق بالاتر را از دست بدهیم زیرا با مورد بی نهایت سر و کار داریم. ثانیا ، اصطلاحات مشتق با توجه به Y و Z نیز می تواند مورد غفلت واقع شود ، همانطور که برای سادگی ، ما فقط اجزای X قسمت داده شده یعنی AX را در نظر می گیریم. و مؤلفه های Y و Z این میدان قصد ندارند به شار این سطح کمک کنند زیرا آنها به صورت مماس به آن می روند. بنابراین فرمول فوق می تواند به این محدود شود-

در اینجا توجه داشته باشید که مقدار x در موقعیت سطح A+(dx/2) است که از شکل مشاهده می شود. بنابراین،

بنابراین شار از طریق این سطح راست با ضرب A به شرح زیر داده می شود_xبا مساحت سطح

اکنون برای سطح سمت چپ ، مقدار x a - (dx/2) است. همچنین ، مقدار DS برای در نظر گرفتن جهت وکتور منطقه همیشه از حجم و از این رو به جهت X منفی اشاره می کند (-Dydz) خواهد بود. بنابراین با قرار دادن همان عبارت در بالا ، همانطور که در زیر آمده است ، شار این سطح سمت چپ را دریافت خواهیم کرد.

بنابراین شار خالص از طریق این سطوح چپ و راست با اضافه کردن هر دو عبارت فوق که به شکل زیر منجر می شود ، بدست می آید.

مؤلفه y میدان یعنی a_yشامل شار مرتبط با سطوح بالا و پایین است. در حالی که مؤلفه z a_zشار را از طریق جلو و عقب تشکیل دهید. بنابراین کار بر روی شار خطوط مشابه از طریق این سطوح را می توان به شرح زیر نوشت:

بنابراین با توجه به تمام سطوح یعنی شار خالص که از این حجم بی نهایت بیرون می آید به این صورت داده شده است:-

حالا دوباره تعریف واگرایی را به یاد بیاورید. بگذارید یک بار دیگر با کلمات ساده بیان کنم ، این کل شار در هر واحد است. درست؟عبارت فوق را بررسی کنید ، اصطلاح dxdydz چیزی نیست جز حجم بی نهایت ، DV که ما در مورد نقطه معین در نظر گرفته ایم. بنابراین اگر با DV یعنی DXDYDZ هر دو طرف معادله فوق تقسیم کنیم ، BOOM! ما بیان خود را از واگرایی به شرح زیر می گیریم:-

همین عبارت را می توان با تبدیل متغیرها از دکارتی به مختصات مربوطه برای مختصات استوانه ای و کروی اصلاح کرد و همانطور که در بالا گفته شد به دست آمد.

خصوصیات واگرایی که باید بدانید

واگرایی روی بردار عمل می کند و به مقیاس می دهد

همانطور که از این تعریف دیدیم ، ساده ترین راه برای درک معنای واگرایی "خروج" میدان بردار در یک نقطه معین است. اینطور نیست؟این بدان معناست که عملیات واگرایی بر روی میدان/عملکرد بردار عمل می کند و عدد یعنی مقیاس را نشان می دهد که نشان دهنده اندازه گیری "خروجی" است. تعداد بیشتری از این زمینه در حال واگرایی است.

نشانه واگرایی ماهیت میدان را به تصویر می کشد

واگرایی ، همانطور که از نام آن پیداست ، یک خروج است. علامت مثبت نشان می دهد که این میدان در آن نقطه در جهت بیرونی واگرایی خاصی دارد. به عبارت دیگر ، خطوط میدانی در اطراف آن نقطه گسترش می یابند.

اما اگر نشانه واگرایی منفی باشد ، خطوط میدان در حال گسترش نیستند بلکه در اطراف آن نقطه همگرا هستند. این بدان معنی است که این زمینه در آن نقطه همگرا است.

واگرایی صفر میدان یکنواخت را به تصویر می کشد

اگر پاسخ واگرایی صفر باشد ، می توان نتیجه گرفت که خطوط میدان نه در حال گسترش هستند و نه منقبض می شوند. به عبارت دیگر ، تعداد خطوط وارد شده در هر واحد حجم بی نهایت که در حدود نقطه مشخص فرض می شود ، برابر با تعداد خطوط ترک آن است. بنابراین می توان این میدان را در اطراف نقطه واگرایی صفر یکنواخت دانست.

عملکرد واگرایی در میدان مقیاس معنی ندارد

همیشه به یاد داشته باشید که عمل واگرایی برای زمینه های بردار تعریف شده است. این ایده را در مورد ماهیت حوزه در اطراف نقطه معین به ما می دهد. از این رو واگرایی یک میدان مقیاس معنی ندارد.

قضیه واگرایی

این بیانیه بیان می کند که کل جریان بیرونی میدان بردار می گوید A ، از طریق سطح بسته ، مثلاً S ، همانند ادغام حجم واگرایی a است.

در نظر بگیرید که میدان بردار A موجود است و در داخل میدان ، مثلاً ، یک سطح بسته ترجیحاً یک مکعب همانطور که در زیر در نقطه P نشان داده شده است وجود دارد.

حال ، سطح بسته چیست؟این سطح هر بدن 3 بعدی است. به عبارت دیگر ، سطح نزدیک حجم داخل آن را محصور می کند. از این رو همراه با سطح سطح ، حجم آن نیز دارد. در تصویر ما ، مکعب را در نظر گرفته ایم که دارای شش سطح است که حجم آن را محصور می کند.

بنابراین ما باید شار را که از هر یک از این شش سطح بیرون می آید پیدا کنیم تا شار خالص خارج از سطح بسته یعنی مکعب محاسبه شود. اینطور نیست؟

اکنون می دانید که ما با استفاده از ادغام سطح ، شار میدان بردار را برای سطح داده شده محاسبه می کنیم. درست؟بنابراین شار خالص از طریق این مکعب یا سطح بسته ، افزودن ادغام سطح همه شش سطح خواهد بود. این می تواند مطابق شکل زیر نشان داده شود. می توانید یک دایره کوچک را در مرکز علامت ادغام مشاهده کنید. این نشان می دهد که این اصطلاح افزودن تمام انتگرال های فردی هر سطح یا شار خالص است که از این سطح بسته (مکعب) بیرون می آید.

اکنون ، طبق قضیه واگرایی ، شار خالص میدان که از سطح بسته خارج می شود برابر با ادغام حجم واگرایی آن قسمت بردار است. حجم ادغام باید بدیهی است که حجمی که توسط سطح بسته داده شده محصور شده است. در مورد ما ، حجم محصور شده توسط مکعب.

بنابراین ما به راحتی می توانیم معادلات فوق را برابر کنیم و همانطور که در شکل زیر نشان داده شده است.

به عبارت ساده ، می توان گفت که قضیه ادغام سطح را با ادغام حجم مرتبط می کند. اما مهمترین! سطحی که ما در حال استفاده از قضیه هستیم باید سطح بسته باشد. در غیر این صورت ، استفاده از آن امکان پذیر نخواهد بود. بسیار ساده استاگر سطح بسته نباشد ، ما حجم آن را در داخل نمی گیریم. از این رو هیچ ادغام حجم وجود ندارد.

بنابراین قضیه واگرایی فقط برای سطوح بسته قابل استفاده است.

بنابراین شار میدان را می توان با استفاده از ادغام سطح در هر صورت (سطح باز یا بسته) محاسبه کرد. علاوه بر این ، در صورت وجود سطوح بسته نیز می توان آن را با ادغام حجم یافت.