الگوی بازگشت سقف سه گانه

درخواست تجدید نظر در پایان سال: لطفاً برای حمایت از توسعه و نگهداری مداوم OEIS به بنیاد OEIS کمک مالی کنید. ما اکنون در 59 مین سال خود هستیم ، بیش از 358،000 سکانس داریم و از 10،300 استناد عبور کرده ایم (که اغلب می گویند "به لطف OEIS کشف شده است").

دون نات خاطرنشان می کند (ارتباط شخصی) که ژاکوبشتال ممکن است هرگز مقادیر واقعی این دنباله را ندیده باشد. با این حال ، هورادام از نام "دنباله ژاکوبشتال" استفاده می کند ، چنین دنباله مهمی به یک نام احتیاج دارد و قانونی وجود دارد که می گوید نام چیزی برای چیزی هرگز نباید از کاشف آن باشد.- N. J. A. Sloane ، 26 دسامبر 2020

تعداد راه های کاشی A مستطیل 3 x (N-1) با کاشی مربع 1 x 1 و 2 x 2.

همچنین ، تعداد روش های کاشی A مستطیل 2 x (N-1) با دومینیوم 1 x 2 و مربع 2 x 2.- توبی گوتفرید ، 02 نوامبر 2008

همچنین A (n) هر یک از چهار مورد زیر را به حساب می آورد: n-ary yusigroups of order 3 با گروه Automorphism of order 3 ، n-ary quasigroups order 3 با گروه Automorphism of order 6 ، (n-1)-ary quasigroupsسفارش 3 با گروه Automorphism of Order 2 و (n-2)-ary quasigroups از سفارش 3. به مقاله McKay-Wanless (2008) مراجعه کنید.- ایان بی سیم ، 28 آوریل 2008

همچنین تعداد راه های اتصال یک گردنبند با استفاده از چرخش N + 2. بنابراین سه چرخش "شرقی" را ایجاد می کند ، چهار "چهار در دست" را ایجاد می کنند و برای 5 چرخش 3 روش وجود دارد: "کلوین" ، "نیکی" و "پرات". این فرمول همچنین از یک پیاده روی تصادفی خاص در یک شبکه مثلثی با شرایط جانبی ناشی می شود (به Fink and Mao ، 1999 مراجعه کنید).- ae. ring (at) epost. de ، 18 مارس 2001

همچنین تعداد ترکیبات N + 1 با یک قسمت عجیب و غریب (A (2) = 3 به دلیل 3 ، 21 ، 111 تنها ترکیب 3 پایان با یک قسمت عجیب است). همچنین تعداد ترکیبات N + 2 با یک قسمت یکنواخت (A (2) = 3 به دلیل 4 ، 22 ، 112 تنها ترکیب 4 پایان با یک قسمت یکنواخت).- Emeric Deutsch ، 08 مه 2001

در مطالعه مرتب سازی با درج ادغام و در تجزیه و تحلیل روشی برای محاسبه GCD ها - به مرجع Knuth مراجعه کنید.

تعداد مطابقت کامل یک شبکه 2 x N پس از تعویض مربع های واحد با tetrahedra (C_4 به K_4):

همچنین شمارنده های کسری کاهش یافته در مبلغ متناوب 1/2 - 1/4 + 1/8 - 1/16 + 1/32 - 1/64 +.- جوشوا زوکر ، 07 فوریه 2002

همچنین ، اگر a (n) ، b (n) ، c (n) زاویه مثلث n-orthic از ABC باشد ، سپس a (1) = pi - 2*a ، a (n) = s (n)**pi + (-2)^n * a where s (n) = (-1)^(n-1) * a (n) [مثلث 1-ارتیک = مثلث ارتیک ABC ، مثلث N-orthic = ارتیکمثلث مثلث (N-1) -orthic].- Antreas P. Hatzipolakis (Xpolakis (at) Otenet. gr) ، 05 ژوئن 2002

همچنین تعداد کلمات طول N+1 در دو حرف S و T که با استفاده از روابط SSS = 1 ، TT = 1 و STST = 1. به هویت 1 کاهش می یابد. گروه S3.- جان دبلیو لیمن ، 14 ژوئن 2002

مبالغ جفت اصطلاحات متوالی به همه قدرت 2 در حال افزایش است.- Amaath Murthy ، 15 اوت 2002

حرکات بیش از حد در جهت عقربه های ساعت (بیش از خلاف جهت عقربه های ساعت) برای جابجایی یک برج با اندازه n به میخ عقربه های ساعت مورد نیاز است -( -1)^n*(2^n -(-1)^n)/3 ؛A (n) نسخه امضا نشده آن است.- Wouter Meeussen ، 01 سپتامبر 2002

همچنین مقدار مطلق عدد نشان داده شده در پای ه-2 توسط رشته N 1 ، Repunit منفی. شماره های Mersee (A000225 و پیامدهای آن) رعایت های باینری هستند.- ریک ال. شفرد ، 16 سپتامبر 2002

توجه داشته باشید که 3*a (n) + (-1)^n = 2^n برای مثلث پاسکال A007318 قابل توجه است. این ناشی از تجزیه ژاکوبشتال مثلث پاسکال است که توسط 1 + 7 + 21 + 35 + 35 + 21 + 7 + 1 = (7 + 35 + 1) + (1 + 35 + 7) + (21 + 21) = 43 نشان می دهد.+ 43 + 42 = 3a (7) - 1 ؛1 + 8 + 28 + 56 + 70 + 56 + 28 + 8 + 1 = (1 + 56 + 28) + (28 + 56 + 1) + (8 + 70 + 8) = 85 + 85 + 86 = 3a (8) +1.- پل باری ، 20 فوریه 2003

تعداد اعداد صحیح مثبت که دقیقاً نیاز به بیت های امضا شده N در نمایندگی فرم غیرقانونی دارند.

به طور معادل ، تعداد رشته های طول- (N-1) با حروف که در آن هیچ دو نامه متوالی nonzero نیستند ، به عنوان مثال و لینک fxtbook مراجعه کنید.- Joerg Adt ، 10 نوامبر 2012

راه های بین رئوس های مجاور یک مثلث را شمارش می کند.- پل باری ، 17 نوامبر 2003

A (N+2) توالی باینری طول کل N را که از Codewords از C = تشکیل شده است ، شمارش می کند.- پل باری ، 23 ژانویه 2004

تعداد مجوزهای بدون نقاط ثابت از 231 و 132 جلوگیری می کند.

The n-th entry (n >1) از دنباله برابر است با 2،2 توان از قدرت N-TH از ماتریس 4 x 4 HAAR غیر طبیعی: [1 1 1 0 /1 1-1 0 /1 1 0 1 /1 1 0-1]- سیمون Severini ، 27 اکتبر 2004

الف (n) تعداد موتزکین (n+1) است که همه آنها در سطح 1 اتفاق می افتد و ارتفاع آنها کمتر از یا برابر است. به عنوان مثال ، a (4) = 5 udufd ، ufdud ، ufffd ،ufudd ، uudfd.- دیوید کالان ، 09 دسامبر 2004

A (N+1) مبالغ ردیف A059260 را می دهد.- پل باری ، 26 ژانویه 2005

اگر (m + n) عجیب باشد ، سپس 3*(a (m) + a (n)) همیشه از فرم a^2 + 2*b^2 است ، جایی که a و b هر دو قدرت مساوی 2 را دارند. در نتیجه ، هر عامل (a (m) + a (n)) همیشه از فرم a^2 + 2*b^2 است.- متیو واندرمست ، 12 ژوئیه 2003

تعداد "0،0" در f_ ، جایی که f_0 = "1" و f_ = دنباله ای که با تغییر همه "1" s در f_n به "1،0" و همه "0" در f_n به "0،1 شکل می گیرد."- Fung Cheok Yin (cheokyin_restart (at) yahoo. com. hk) ، 22 سپتامبر 2006

All prime Jacobsthal numbers A049883[n] = have prime indices except for a(4) = 5. All prime Jacobsthal numbers with prime indices (all but a(4) = 5) are of the form (2^p + 1)/3 - the Wagstaff primes A000979[n]. Indices of prime Jacobsthal numbers are listed in A107036[n] = . For n>1 A107036 [n] = a000978 [n] اعداد n به گونه ای که (2^n + 1)/3 اصلی است.- الکساندر آدامچوک ، 03 اکتبر 2006

Correspondence: a(n) = b(n)*2^(n-1), where b(n) is the sequence of the arithmetic means of previous two terms defined by b(n) = 1/2*(b(n-1) + b(n-2)) with initial values b(0) = 0, b(1) = 1; the g.f. for b(n) is B(x) := x/(1-(x^1+x^2)/2), so the g.f. A(x) for a(n) satisfies A(x) = B(2*x)/2. Because b(n) converges to the limit lim (1-x)*B(x) = 1/3*(b(0) + 2*b(1)) = 2/3 (for x -->1) ، نتیجه می گیرد که A (N)/2^(N-1) نیز به 2/3 همگرا می شود (همچنین به A103770 مراجعه کنید).- Hieronymus Fischer ، 04 فوریه 2006

Inverse: floor(log_2(a(n)) = n - 2 for n >= 2. Also: log_2(a(n) + a(n-1)) = n - 1 for n >= 1 (همچنین به A130249 مراجعه کنید). خصوصیات: x یک عدد ژاکوبستال است اگر و فقط اگر قدرت 4 (= c) وجود داشته باشد به گونه ای که x ریشه p (x) = 9*x*(x-c) + (c-1)*(2*است. C+1) (همچنین به توالی شاخص A105348 مراجعه کنید).- Hieronymus Fischer ، 17 مه 2007

This sequence counts the odd coefficients in the expansion of (1 + x + x^2)^(2^n - 1), n >= 0. - Tewodros Amdeberhan (Tewodros (at) Math. Mit. edu) ، 18 اکتبر 2007 ، 08 ژانویه 2008

دنباله با مقادیر مطلق تبدیل دوتایی معکوس آن یکسان است. یک نتیجه مشابه برای [0 ، A001045*2^n] برگزار می شود.- پل کورتز ، 17 ژانویه 2008

از A (2) در (به عنوان مثال ، 1 ، 3 ، 5 ، 11 ، 21 ،.) همچنین: حداقل تعداد عجیب و غریب به گونه ای که زیر مجموعه های جمع به 2^(N-1) مقادیر مختلف ، ر. ک. A138000 و A064934. جالب است که توجه داشته باشید که الگوی اعدادی که اتفاق می افتد (یا اتفاق نمی افتد) به عنوان چنین مبلغی (A003158).- M. F. هاسلر ، 09 آوریل 2008

A (n) اصطلاح (5 ، 1) از قدرت N-th از ماتریس 5 5 5 نشان داده شده در A121231 است.- گری دبلیو آدامسون ، 03 اکتبر 2008

به نظر می رسد که A (n) نیز تعداد عدد صحیح بین 2^n و 2^(n+1) است که توسط 3 قابل تقسیم و بدون باقی مانده است.- جان Fossaceca (جان (در) fossaceca. net) ، 31 ژانویه 2009

تعداد جفت اعداد متوالی (یا شر) بین 2^(n+1) و 2^(n+2) ، فراگیر.- T. D. Noe ، 05 فوریه 2009

برابر با eigensequence مثلث A156319.- گری دبلیو آدامسون ، 07 فوریه 2009

تفسیر سه بعدی از A (N+1) این است که تعداد روش های پر کردن سوراخ 2 x 2 x n با آجر 1 x 2 x 2 را ارائه می دهد.- مارتین گریفیتس ، 28 مارس 2009

شروع با افست 1 = تبدیل اینورتی A002605: (1 ، 2 ، 6 ، 16 ، 44 ،.).- گری دبلیو آدامسون ، 12 مه 2009

حل شده با (1 ، 2 ، 2 ، 2 ،.) = A000225: (1 ، 3 ، 7 ، 15 ، 31 ،.).- گری دبلیو آدامسون ، 23 مه 2009

محصول یک جفت اصطلاح پی در پی همیشه یک مثلثی است.- جوزپه اوتونلو ، 14 ژوئن 2009

Let A be the Hessenberg matrix of order n, defined by: A[1, j] = 1, A[i, i] := -2, A[i, i - 1] = -1, and A[i, j] = 0 otherwise. Then, for n >= 1 ، a (n) = (-1)^(n-1)*det (a).- میلان جانجیک ، 26 ژانویه 2010

بگذارید R نمایانگر غیرقابل برگشت گروه متقارن S_3 از Dimension 2 باشد ، و بگذارید S و T به ترتیب نشانه و بازنمایی غیرقابل برگشت بی اهمیت از ابعاد را نشان دهند 1. تجزیه r^n به بازنمایی های غیرقابل برگشت شامل کپی (N) از R استو A (N-1) نسخه های هر یک از S و T.- اندرو روپینسکی ، 12 مارس 2010

به عنوان کسری: 1/88 = 0. 0113636363. یا 1/9898 = 0. 00010103051121.- مارک دولز ، 18 مه 2010

شروع با "1" = تبدیل معکوس (1 ، 0 ، 2 ، 0 ، 4 ، 0 ، 8 ،.) ؛به عنوان مثال ، A (7) = 43 = (1 ، 1 ، 1 ، 3 ، 5 ، 11 ، 21) نقطه (8 ، 0 ، 4 ، 0 ، 2 ، 0 ، 1) = (8 + 4 + 10 + 21)= 43. - گری دبلیو آدامسون ، 28 اکتبر 2010

قانون 28 اتوماتیک سلولی ابتدایی (A266508) این دنباله را تولید می کند.- پل مالجادی ، 27 ژانویه 2011

این یک دنباله قابل تقسیم است.- مایکل ساموس ، 06 فوریه 2011

Let U Matrix Unit-Primitive باشد (به [جفری] مراجعه کنید)

این دنباله در استفاده از حذف تکراری استراتژی های کاملاً حاکم برای ایجاد بهترین راه حل پاسخ برای مشکل دوپولی Couot به عنوان یک استراتژی کاملاً غالب ظاهر می شود. بهترین پاسخ شرکت 1 به شرکت 2 به شرکت 2 توسط Q*_1 = 1/2*(A - C - Q_2) داده می شود ، جایی که A قیمت رزرو ، C هزینه حاشیه ای است و Q_2 مقدار انتخابی دو شرکت است. با توجه به اینکه Q_2 در [O ، A - C] است ، q*_1 باید در [O ، 1/2*(A - C)] باشد. از آنجا که هزینه ها متقارن هستند ، می دانیم که Q_2 در [0 ، 1/2*(A - C)] است. سپس می دانیم q*_1 در [1/4*(a - c) ، 1/2*(a - c)] است. در ادامه به این روش ، دنباله مرزهایی که می گیریم (فاکتورسازی A - C) است. شمارنده ها شماره های ژاکوبستال هستند.- مایکل چیریکو ، 10 سپتامبر 2011

The compositions of n in which each natural number is colored by one of p different colors are called p-colored compositions of n. For n >= 2 ، 3*A (N-1) با تعداد ترکیبات 3 رنگ N با تمام قسمت های بزرگتر از یا مساوی 2 برابر است ، به گونه ای که هیچ قسمت مجاور دارای یک رنگ یکسان نیست.- میلان جانجیک ، 26 نوامبر 2011

This sequence is coected with the Collatz problem. We consider the array T(i, j) where the i-th row gives the parity trajectory of i, for example for i = 6, the infinite trajectory is 6 -> 3 -> 10 -> 5 -> 16 -> 8 -> 4 -> 2 -> 1 -> 4 -> 2 -> 1 -> 4 -> 2 ->1. و T (6 ، j) = [0 ، 1 ، 0 ، 1 ، 0 ، 0 ، 0 ، 0 ، 1 ، 0 ، 0 ، 1 ،. 1 ، 0 ، 0 ، 1 ،.]. اکنون ، ما تعداد رقم های "1" هر ستون را در نظر می گیریم. ما دنباله a (n) = sum_ t (k ، n) = جمع _ رقم "1" ستون n-th را بدست می آوریم. از آنجا که a (n)+a (n+1) = 2^n ، سپس a (n+1) = تعداد رقم "0" در بین 2 عناصر 2^n ستون N-th.- میشل لاگنو ، 11 ژانویه 2012

3!*a (n-1) ظاهراً اثری از قدرت n-th ماتریس مجاورت 3-Graph کامل ، یک ماتریس 3 3 3 با عناصر مورب است که همه صفر و خارج از مورب هستند. عناصر خارج از مورب برای قدرت N-TH همه برابر با A (n) هستند در حالی که به نظر می رسد هر عنصر مورب یک (n) + 1 برای یک قدرت یکنواخت و (n)-1 برای یک عجیب است. اینها مربوط به طول مسیرهای بسته روی نمودار است (به مقاله دلفینو و ویتی مراجعه کنید).- تام کوپلند ، 06 نوامبر 2012

2^n * a (-n) = (-1)^(n-1) * a (n) ، که دنباله را به شاخص های منفی گسترش می دهد :.-5/16 ، 3/8 ، -1/4 ، 1/2 ، 0 ، 1 ، 1 ، 3 ، 5 ،.

خاصیت "autosequence" با توجه به تحول دوتایی ذکر شده در اظهار نظر من در مورد 17 ژانویه 2008 هنوز معتبر است اگر اصطلاح A (-1) به آرایه دنباله اضافه شود و تفاوت های مرتبه بالاتر آن در ردیف های بعدی:

0 1/2 1/2 3/2 5/2 11/2.

مورب اصلی در این آرایه شامل 0 است.(پایان)

اختصاص به مثلث t (n ، 0) = 1 و t (n+1 ، 1) = n ؛t (r ، c) = t (r-1 ، c-1) + t (r-1 ، c-2) + t (r-2 ، c-2). سپس t (n+1 ، n) - t (n ، n) = a (n).- J. M. Bergot ، 02 مه 2013

A (N+1) پیاده روی های عقربه های ساعت را روی نقاط N روی دایره ای که مراحل طول 1 و 2 را انجام می دهد ، به نقطه شروع باز می گردد و هیچ مرحله ای را کپی نمی کند (USAMO 2013 ، مشکل 5).- Kiran S. Kedlaya ، 11 مه 2013

یک آرایه مربع نامحدود M را با m (n ، 0) = m (0 ، n) = a (n) در ردیف بالا و ستون سمت چپ و m (i ، j) = m (i ، j-1) + m تعریف کنید (I-1 ، J-1) در غیر این صورت ، سپس m (n+1 ، n+1) = 3^(n-1).- J. M. Bergot ، 10 مه 2013

A (n) تعداد ترکیبات (پارتیشن های سفارش داده شده) از n - 1 به یک نوع 1 و دو نوع 2 است. مثال: A (4) = 5 ترکیب 3 از 1 + 1 + 1 ، 1 + 2 ، 1 + 2 '، 2 + 1 و 2' + 1. - Bob Selcoe ، 24 ژوئن 2013

بدون 0 ، a (n)/2^n با این احتمال برابر است که n به عنوان یک جمع جزئی در یک توالی بی نهایت به طور تصادفی تولید شده از 1 و 2 رخ می دهد. نسبت محدود کننده 2/3 است.- باب سلکو ، 04 ژوئیه 2013

تعداد کلاسهای ترکیبات Z/2Z X Z/2Z در GL (2،2^(N+1)).- _Jared Waer_ ، 18 اوت 2013

A (n) ورودی بالا سمت چپ (N-1) قدرت ماتریس 3 x 3 است [1 ، 1 ، 1 ، 1 ، 0 ، 0 ، 1 ، 0 ، 0]. A (n) ورودی بالا سمت چپ (N+1) قدرت هر یک از شش ماتریس 3 3 3 است [0 ، 1 ، 0 ؛1 ، 1 ، 1 ؛0 ، 1 ، 0] ، [0 ، 1 ، 1 ؛0 ، 1 ، 1 ؛1 ، 1 ، 0] ، [0 ، 0 ، 1 ؛1 ، 1 ، 1 ؛1 ، 1 ، 0] ، [0 ، 1 ، 1 ؛1 ، 0 ، 1 ؛0 ، 1 ، 1] ، [0 ، 0 ، 1 ؛0 ، 0 ، 1 ؛1 ، 1 ، 1] یا [0 ، 1 ، 0 ؛1 ، 0 ، 1 ؛1 ، 1 ، 1].- R. J. Mathar ، 03 فوریه 2014

این تنها دنباله عدد صحیح از خانواده عود خطی همگن از سفارش 2 است که توسط (n) = k*a (n-1) + t*a (n-2) با ضرایب عدد صحیح مثبت K و T و مقادیر اولیه داده شده استA (0) = 0 و A (1) = 1 که نسبت A (N+1)/A (N) به 2 با نزدیک شدن N به بی نهایت همگرا می شود.- Felix P. Muga II ، 14 مارس 2014

این توالی لوکاس U (1 ، -2) است.- Felix P. Muga II ، 21 مارس 2014

sqrt(a(n+1) * a(n-1)) -> a(n) + 3/4 if n is even, and -> a(n) - 3/4 if n is odd, for n >= 2. - ریچارد آر. فوربرگ ، 24 ژوئن 2014

A (N+1) پیاده روی های بسته را در قسمت انتهای P_3 حاوی یک حلقه در راس میانی شمارش می کند. A (N-1) پیاده روی های بسته را در راس میانی P_3 حاوی یک حلقه در آن راس شمارش می کند.- دیوید نیل مک گرات ، 07 نوامبر 2014

بگذارید P یک نقطه در صفحه یک مثلث ABC (با طرف های A ، B ، C) و مختصات Barycentric P = [X: Y: Z] باشد. مکمل P با توجه به ABC به عنوان مکمل تعریف شده است (P) = [B*Y + C*Z: C*Z + A*X: A*X + B*Y].

Then, for n >= 1 ، مکمل (مکمل (. (مکمل (P)) ..)) = (N بار) =

a(n) (n >= 2) تعداد هیپرکوب های ناشی از گاما مکعب فیبوناچی (N-2) است. به صفحه مراجعه کنید. 513 مرجع Klavzar. مثال: a (5) = 11. در واقع ، گاما مکعب فیبوناچی (3) است<>- (چرخه C (4) با لبه آویز) و Hypercubes عبارتند از: 5 راس ، 5 لبه و 1 مربع.- Emeric Deutsch ، 07 آوریل 2016

اگر توالی امتیازاتدر مکعب y = a*x^3 + b*x^2 + c*x + d این ویژگی را دارد که قطعه p_i (x_i ، y_i) p_i + 1 (x_i + 1 ، y_i + 1) همیشه مبهم استمکعب در p_i+1 (x_i+1 ، y_i+1) سپس a (n) = -2^n*a/b*(x_ (n+1)-(-1/2)^n*x_1).- مایکل بروزینسکی ، 01 اوت 2016

با عدد صحیح کوانتومی تعریف شده توسط [n+1] _q = (q^(n+1)-q^(-n-1)) / (q-q^(-1)) ، اعداد Jacobsthal a (n است.+1) = (-1)^n * q^n [n+1] _q با q = i * sqrt (2) برای i^2 = -1 ، در حالی که اعداد مررسن امضا شده A000225 توسط q = sqrt داده می شود (2)پ. A239473.- تام کوپلند ، 05 سپتامبر 2016

هر عدد صحیح مثبت به عنوان مجموعه ای از اعداد Jacobsthal که در آن شاخص کوچکترین جمع عجیب و غریب است ، دارای یک (1) و A (2) هر دو مجاز است. به مرجع L. Carlitz ، R. Scoville و V. E. Hoggatt ، Jr. مراجعه کنید.- Ira M. Gessel ، 31 دسامبر 2016. برای این موارد به A280049 مراجعه کنید.- N. J. A. Sloane ، 31 دسامبر 2016

For n >0 ، A (n) برابر با تعداد کلمات سه قلو با طول N-1 است که در آن 0 و 1 از اجرای طول های عجیب و غریب جلوگیری می کنند.- میلان جانجیک ، 08 ژانویه 2017

For n >0 ، A (n) برابر با تعداد مدارهای گروه محدود PSL (2،2^N) است که بر روی زیر مجموعه های اندازه 4 برای 2^N+1 از خط پروژکتور عمل می کند.- پل م. بردلی ، 31 ژانویه 2017

For n >1 ، تعداد کلمات طول n-2 نسبت به الفبای به گونه ای که هیچ نامه ای عجیب و غریب توسط یک نامه عجیب و غریب دنبال نمی شود.- Armend Shabani ، 17 فوریه 2017

همچنین ، بازنمایی اعشاری از محور x ، از منشاء به لبه راست ، مرحله N-Th رشد اتوماتیک سلولی دو بعدی تعریف شده توسط "قانون 678" ، بر اساس محله 5 سلولی فون نویمان تعریف شده، با یک سلول سیاه (روشن) در مرحله صفر اولیه انجام می شود. به A283641 مراجعه کنید.- رابرت پرایس ، 12 مارس 2017

همچنین تعداد مجموعه های ورتکس مستقل و پوشش های راس در نمودار پادشاه 2 x (N-2).- اریک دبلیو ویسشتاین ، 21 سپتامبر 2017

Let T(0) be a triangle and let T(1) be the medial triangle of T(0), T(2) the medial triangle of T(1) and, in general, T(n) the medial triangle of T(n-1). The barycentric coordinates of the first vertex of T(n) are [2*a(n-1)/a(n), 1, 1], for n >0

Let S(0) be a triangle and let S(1) be the antimedial triangle of S(0), S(2) the antimedial triangle of S(1) and, in general, S(n) the antimedial triangle of S(n-1). The barycentric coordinates of the first vertex of S(n) are [-a(n+1)/a(n), 1, 1], for n >0. (پایان)

A (n) همچنین تعداد دلهره ها در S_ با مجموعه اوج خالی است.- ایزابلا هوانگ ، 01 آوریل 2018

For n >0 ، GCD (A (n) ، A (n+1)) = 1. - Kengbo Lu ، 27 ژوئیه 2020

تعداد 2 ترکیب N+1 با 1 به عنوان بخشی مجاز نیست. به مرجع هاپکینز و Ouvry مراجعه کنید.- برایان هاپکینز ، 17 اوت 2020

The number of Hamiltonian paths of the flower snark graph of even order 2n >2 است 12*a (n-1).- دون نات ، 25 دسامبر 2020

When set S = , n>= 0 ، سپس بزرگترین زیر مجموعه t از S با خاصیتی که اگر x در T باشد ، 2*x در T نیست ، دارای عناصر (N+1) است. به عنوان مثال ، برای n = 4 ، #s = 16 ، a (5) = 11 با t = (به لینک حسن Tarfaoui ، Concours Général 1991 مراجعه کنید).- برنارد شوت ، 14 فوریه 2022

J. Austin and L. Schneider ، توالی فیبوناچی عمومی در توالی های حفظ سه گانه فیثاغور ، فیبر. س. ، 58: 1 (2020) ، 340-350.

هنری بروکارد ، "Propriété d'Une Séie de Triangles" ، مکاتبات Nouvelle Mathematique ، جلد. 6 (1880) ، 145-151.

هفتمFink و Y. Mao. 85 راه برای کراوات کراوات ، املاک چهارم ، لندن ، 1999 ؛Die 85 Methoden eine krawatte zu binden. هافمن und کامپه ، هامبورگ ، 1999.

المپیاد بین المللی ریاضی 2001 ، مشکل انتخاب مقدماتی هنگ کنگ مشکل شماره 16.

Jablan S. and Sazdanovic R. ، Linknot: تئوری گره توسط رایانه ، مطبوعات علمی جهانی ، 2007. به ص. 80

ارنست اریش جیکوبشتال ، فیبوناکیش Polynome und Kreisteilungsgleichungen ، Sitzungsber. ریاضی برلینر. گسل17 (1919-1920) ، 43-57.

تانیا خووانووا ، "سکه و منطق" ، فصل 6 ، ریاضیات موضوعات سرگرم کننده مختلف: جلد 3 (2019) ، جنیفر بیینکه و جیسون روزنهاوس ، ویرایش. انتشارات دانشگاه پرینستون ، پرینستون و آکسفورد ، ص. 73. ISBN: 0691182582 ، 978-0691182582.

D. E. Knuth ، هنر برنامه نویسی رایانه ، جلد. 3 ، فرقه. 5. 3. 1 ، معادله. 13

T. Koshy ، Fibonacci و Lucas با برنامه های کاربردی ، ویلی ، 2001 ، ص. 98

T. Koshy و R. P. Grimaldi ، کلمات سه گانه و اعداد Jacobsthal ، فیبر. کوارت. ، 55 (شماره 2 ، 2017) ، 129-136.

S. Roman ، مقدمه ای برای برنامه نویسی و نظریه اطلاعات ، Springer Verlag ، 1996 ، 41-42.

P. D. Seymour and D. J. A. Welsh ، برنامه های ترکیبی از یک مکانیک آماری از یک نابرابری ، ریاضی. پروککامبفیلSOC. 77 (1975) ، 485-495.[اگرچه Daykin و همکاران.(1979) ادعا می کند که دنباله حاضر در این مقاله مورد مطالعه قرار گرفته است ، به نظر نمی رسد صریحاً ذکر شود. توجه داشته باشید که تعریف log-convex در (3. 1) اشتباه است.- N. J. A. Sloane ، 26 دسامبر 2020]

N. J. A. Sloane ، کتابچه راهنمای توالی عدد صحیح ، مطبوعات دانشگاهی ، 1973 (شامل این دنباله).

N. J. A. Sloane و Simon Plouffe ، دائر ycl المعارف توالی عدد صحیح ، انتشارات دانشگاهی ، 1995 (شامل این دنباله).

ژان-پل آلووش ، جفری شالیت ، ژیسیونگ ون ، وون وو و جیمنگ ژانگ ، مجموعه های بدون مجموعه تولید شده توسط توالی های دوره k و برخی از توالی های استورمین ، arxiv: 1911. 01687 [math. co] ، 2019.

محمد K. Azarian ، حد ریشه های مربع تو در تو ، مشکل B-664 ، فصلنامه فیبوناچی ، جلد. 28 ، شماره 2 ، مه 1990 ، ص. 182

محمد K. Azarian ، راه حل مشکل B-664 ، حد ریشه های مربع تو در تو ، فصلنامه فیبوناچی ، جلد. 29 ، شماره 2 ، مه 1991 ، ص. 182

Paul Barry ، در توالی با Hankel Transforms ، Arxiv Preprint Arxiv: 1205. 2565 [Math. co] ، 2012. - از N. J. A. Sloane ، 18 اکتبر 2012

K. Böhmová ، C. Dalfó ، and C. Huemer ، on Cyclic Kautz Digraphs ، Preprint 2016.

دبلیو بوسما ، بیت های امضا شده و سرعت سریع ، J. Th. Nombres de Bordeaux ، 13 NO. 1 (2001) ، ص. 27-41.

G. Bowlin و M. G. Brin ، نمودارهای مسطح رنگ آمیزی از طریق مسیرهای رنگی در Associahedra ، Arxiv Preprint Arxiv: 1301. 3984 [Math. co] ، 2013. - از N. J. A. Sloane ، 12 فوریه 2013

H. Bruhn ، L. Gellert ، and J. Günther ، اعداد Jacobsthal در نمودارهای عمومی پیترسن ، arxiv preprint arxiv: 1503. 03390 [math. co] ، 2015.

H. Bruhn ، L. Gellert ، and J. Günther ، اعداد Jacobsthal در نمودارهای عمومی پیترسن ، نت های الکترونیکی در ریاضی گسسته ، 2015.

L. Carlitz ، R. Scoville ، and V. E. Hoggatt ، Jr. ، بازنمایی برای یک دنباله ویژه ، فصلنامه فیبوناچی 10. 5 (1972) ، صفحات 499-518 و 550.

پائولا کاترینو ، هلنا کامپوس و پائولو واسکو. در دنباله مررسن. Aales Mathematicae و Informaticae ، 46 (2016) صص 37-53.

D. E. Daykin ، D. J. Kleitman و D. B. West ، تعداد ملاقات بین دو زیر مجموعه یک شبکه ، J. Combin. تئوری ، A 26 (1979) ، 135-156.

کارل دیلچر و لری اریکسن ، کسری و چند جمله ای شدید را ادامه دادند. مجله Ramanujan (2017). جدول 2 را ببینید.

Shalosh B. Ekhad ، N. J. A. Sloane ، and Doron Zeilberger ، اتوماتیک سلولی عجیب و غریب در شبکه مربع ، Arxiv: 1503. 04249 [Math. co] ، 2015.

M. C. Firengiz و A. Dil ، روش تعمیم یافته اویلر-سیدل برای روابط عود مرتبه دوم ، یادداشت هایی در مورد تئوری تعداد و ریاضیات گسسته ، جلد. 20 ، 2014 ، شماره 4 ، 21-32.

رابرت Frontczak و Taras Goy ، هویت Mersee-Horadam با استفاده از توابع تولید کننده ، Carpathian Math. انتشارات(2020) جلد. 12 ، شماره 1 ، 34-45.

E. M. García-Caballero ، S. G. Moreno ، and M. P. Prophet ، محصولات نامتناهی مانند Viète مانند رادیکال های تو در تو ، فیبر. س. ، 52 (شماره 1 ، 2014) ، 27-31.

Taras P. Goy ، هویت شماره Jacobsthal با استفاده از فرمول عمومی Brioschi ، دانشگاه ملی واسیل استفانک Preppathian ، (ایوانو-فرانکویسک ، اوکراین ، 2020).

جونی گریفیتس ، تحول نه در خط ، روزنامه ریاضی ، 99 ، ص 347-352 (2015).

مارتین گریفیتس و الکس برامام ، شماره های ژاکوبشتال: دو نتیجه و دو سوال ، کوارت فیبوناچی. 53 (2015) ، شماره. 2 ، 147-151.

ریچارد K. گای ، تانیا خووانووا ، و جولیان سالازار ، توالی فیبوناچی زیرپرداز Conway ، Arxiv: 1207. 5099 [Math. nt] ، 2012-2014.

Silvia Heubach ، کاشی کاری یک منطقه m-n-n با مربع های اندازه تا k-by (m<=5), preprint, published in: Congressus Numerantium 140 (1999), 43-64.

A. M. Hinz ، S. Klavžar ، U. Milutinović ، and C. Peter ، برج هانوی - اسطوره ها و ریاضیات ، Birkhäuser 2013. به صفحه 56 مراجعه کنید.

Andreas M. Hinz and Paul K. Stockmeyer ، توالی های فلزی گرانبها و نمودارهای نوع Sierpinski ، J. Integer Seq. ، جلد 25 (2022) ، ماده 22. 4. 8.

برایان هاپکینز و استفان اووری ، ترکیبی از چند ترکیب ، Arxiv: 2008. 04937 [Math. co] ، 2020.

برایان هاپکینز ، اندرو V. سیلز ، و Thotsapo "Aek" Thanatipanonda و Hua Wang ، قطعات و الگوهای زیرزمینی در ترکیبات ، Preprint 2015.

A. F. Horadam ، منحنی های Jacobsthal and Pell ، Fib. کوارت26 ، 79-83 ، 1988. [نگاه کنید به J_N.]

Dan Ismailescu ، Joehyun Kim ، Kelvin Kim و Jeewoo Lee ، بزرگترین روش دوتایی زاویه ، ARXIV: 1908. 02749 [Math. MG] ، 2019. به صفحه مراجعه کنید. 17

D. Jhala ، G. P. S. Rathore ، and K. Sisodiya ، برخی از خواص اعداد K-Jacobsthal با شاخص های حسابی ، مجله ترکیه تجزیه و تحلیل و نظریه شماره ، 2014 ، جلد. 2 ، شماره 4 ، 119-124.

تانیا خووانووا ، سکه و منطق ، Arxiv: 1801. 01143 [Math. ho] ، 2018.

Tanya Khovanova و Konstantin Knop ، سکه هایی که وزن آنها را تغییر می دهند ، Arxiv: 1611. 09201 [Math. co] ، 2016.

Peter J. Larcombe ، Julius Fergy T. Rabago ، and Eric J. Feessey ، در دو دنباله مشتق از میانگین دنباله هندسی مقیاس ، مجله فلسطین ریاضیات (2018) جلد. 7 (2) ، 397-405.

E. Lemmen ، J. Van Duivenbode ، J. L. Duarte ، and E. A. Lomonova ، مبدل های چند سطحی انعطاف پذیر با استفاده از سلولهای رفت و آمد 4 سوئیچ ، مباحث نوظهور و منتخب در الکترونیک برق ، مجله IEEE ، جلد: pp ، شماره: 99 ، 2015.

B. D. McKay و I. M. Wanless ، سرشماری از هایپرکوب های کوچک لاتین ، سیام جی. ریاضی گسسته. 22 ، (2008) 719-736.

A. Moghaddamfar و H. Tajbakhsh ، بازنمودهای تعیین کننده تر برای توالی ها ، مجله توالی عدد صحیح ، 17 (2014) ، #14. 5. 6.

Emanuele Munarini ، تعمیم هویت متقارن آندره-جینین ، ریاضیات و برنامه های کاربردی خالص (2018) جلد. 27 ، شماره 1 ، 98-118.

G. Myerson و A. J. Van der Poorten ، برخی از مشکلات مربوط به سکانس های عود ، عامر. ریاضی. ماهانه 102 (1995) ، شماره. 8 ، 698-705.

Kritkhajohn Onphaeng و Prapanpong Pongsriiam ، Jacobsthal و Jacobsthal-Lucas شماره ها و مبالغ معرفی شده توسط Jacobsthal و Tverberg ، مجله توالی های عدد صحیح ، جلد. 20 (2017) ، ماده 17. 3. 6.

Ahmet öteleş ، Zekeriya Y. Karatas ، and Diyar O. Mustafa Zangana ، شماره های ژاکوبستال و ماتریس های مرتبط هسنبرگ ، J. Int. Seq. ، جلد. 21 (2018) ، ماده 18. 2. 5.

D. Panario ، M. Sahin ، Q. Wang ، and W. Webb ، عودهای عمومی شرطی ، ریاضیات کاربردی و محاسبات ، دوره 243 ، 15 سپتامبر 2014 ، صفحات 220-231.

Simon Plouffe ، تقریبی de Séries Génératrices et Quelques حدس ، پایان نامه ، Université du Québec à Montréal ، 1992 ؛ARXIV: 0911. 4975 [Math. nt] ، 2009.

Simon Plouffe ، 1031 توابع تولید ، پیوست پایان نامه ، مونترال ، 1992

M. Rahmani ، ماتریس Akiyama-Tanigawa و هویت های ترکیبی مرتبط ، جبر خطی و کاربردهای آن 438 (2013) 219-230.- از N. J. A. Sloane ، 26 دسامبر 2012

A. G. Shaon و J. V. Leyendekkers ، خانواده نسبت طلایی و معادله Binet ، یادداشت های تئوری شماره و ریاضیات گسسته ، جلد. 21 ، 2015 ، شماره 2 ، 35-42.

Yüksel Soykan ، اعداد فیبوناچی عمومی: فرمول های جمع ، مجله پیشرفت در ریاضیات و علوم کامپیوتر (2020) جلد. 35 ، شماره 1 ، 89-104.

Yüksel Soykan ، فرمول های بسته برای مبالغ مربع شماره های فیبوناچی عمومی ، مجله آسیایی تحقیقات و گزارش های پیشرفته (2020) جلد. 9 ، شماره 1 ، 23-39 ، ماده شماره. Ajarr. 55441.

Yüksel Soykan ، Erkan Taşdemir ، and inci Okumuş ، در مورد تعداد بیش از حد دوتایی با اجزای شماره ژاكوبشتال تعمیم یافته ، دانشگاه Zonguldak Bülent Ecevit ، (Zonguldak ، Turkey ، 2019).

المپیاد ریاضی ایالات متحده آمریکا 2013 ، مشکل 2 (پیشنهاد شده توسط سام وندرولد).

دنیای ریاضیات اریک ویسشتاین ، مجموعه راس مستقل

دنیای ریاضیات اریک ویسشتاین ، پادشاه نمودار

دنیای ریاضیات اریک ویسشتاین ، پوشش راس

عبدلموموم زکیری ، فرید بنچریف ، و راشید بومی ، تعمیم هویت آپوستول ، J. Int. Seq. ، جلد. 21 (2018) ، ماده 18. 5. 1.

G. B. M. Zerr ، مشکل 64 ، ماهانه ریاضی آمریکایی ، جلد. 3 ، نه. 12 ، 1896 (ص 311).

a(2*n) = 2*a(2*n-1)-1 for n >= 1, a(2*n+1) = 2*a(2*n)+1 for n >= 0. - لی ه ه-هونگ ، 11 اکتبر 2002 ؛اصلاح شده توسط ماریو کاتالانی (Mario. Catalani (at) Unito. it) ، 04 دسامبر 2002

همچنین A (n) ضریب x^(n-1) در چند جملهای فیبوناچی bivariate f (n) (x ، y) = x*f (n-1) (x ، y) + y*f (n است.-2) (x ، y) ، با y = 2*x^2.- ماریو کاتالانی (Mario. Catalani (at) Unito. it) ، 04 دسامبر 2002

نسبت A (n)/2^(N-1) به 2/3 همگرا می شوند و هر کسری پس از 1/2 میانگین حسابی از دو بخش قبلی است.- گری دبلیو آدامسون ، 05 ژوئیه 2003

a (n) = u (n-1 ، i/(2*sqrt (2)))*(-i*sqrt (2))^(n-1) با i^2 = -1.- پل باری ، 17 نوامبر 2003

a(n) = round(2^n/3) = (2^n + (-1)^(n-1))/3 so lim_infinity>2^n/a (n) = 3. - جرالد مک گاروی ، 21 ژوئیه 2004

a (n + 1) = سقف (2^n/3) + کف (2^n/3) = (سقف (2^n/3))^2 - (کف (2^n/3))^2بشر

Let M = [1, 1, 0; 1, 0, 1; 0, 1, 1], then a(n) = (M^n)[2, 1], also matrix characteristic polynomial x^3 - 2*x^2 - x + 2 defines the three-step recursion a(0)=0, a(1)=1, a(2)=1, a(n) = 2*a(n-1) + a(n-2) - 2*a(n-3) for n >2. - Lambert Klasen (lambert. klasen (at) gmx. net) ، 28 ژانویه 2005

The a(n) are closely related to nested square roots; this is 2*sin(2^(-n)*Pi/2*a(n)) = sqrt(2-sqrt(2-sqrt(2-sqrt(. sqrt(2))). ) = 0>.

Also 2*cos(2^(-n)*Pi*a(n)) = sqrt(2-sqrt(2-sqrt(2-sqrt(. sqrt(2))). ) = 1>همچنین

a (n) = 2^(n+1)/pi*arcsin (b (n+1)/2) که در آن b (n) به صورت بازگشتی توسط b (0) = 2 ، b (n) = sqrt (2-B (N-1)).

یک فرمول مشابه در مورد عملکرد ARCCOS وجود دارد ، این A (n) = 2^n/pi*arccos (b (n)/2) است.

با توجه به توالی C (n) به صورت بازگشتی توسط C (0) =-2 ، C (n) = SQRT (2+C (N-1)) تعریف شده است ، فرمول های زیر صحیح هستند: A (n) = 2^n/3*(1-(-1)^n*(1-2/pi*arcsin (c (n+1)/2)) ؛ a (n) = 2^n/3*(1-(--1)^n*(1-1/pi*arccos (-c (n)/2)).

بگذارید t = ماتریس 3 x 3 [1،1،0 ؛1،0،1 ؛0،1،1]. سپس t^n * [1،0،0 ،] = [a005578 (n) ، a (n) ، a000975 (n-1)].- گری دبلیو آدامسون ، 24 دسامبر 2007

a (n) = اصطلاح چپ پایین در ماتریس 2 x 2 [0،2 ؛1،1]^ن.- گری دبلیو آدامسون ، 02 مارس 2008

a (n) = sqrt (8*a (n-1)*a (n-2) + 1). به عنوان مثال ، SQRT (3*5*8+1) = 11 ، SQRT (5*11*8+1) = 21. - Giuseppe Ottonello ، 14 ژوئن 2009

بگذارید p [i] = fibonacci (i-1) و اجازه دهید ماتریس هسنبرگ سفارش n تعریف شده توسط: a [i ، j] = p [j-i+1] ، (i = 1 ، a (n-1) = DET (A). - میلان جانجیک ، 8 مه 2010

a(p-1) = p*A007663(n)/3 if n > 1, and a(p-1) = p*A096060(n) if n >2 ، با p = prime (n).- جاناتان سوندو ، 19 ژوئیه 2010

از نظر جبری معادل تعویض 5 با 9 در فرمول صریح (binet) برای اصطلاح n-th در دنباله فیبوناچی: فرمول برای اصطلاح n-th در دنباله فیبوناچی f (n) = (1+sqrt (1+sqrt (5))^n - ( 1-sqrt (5))^n)/(2^n*sqrt (5)). تعویض 5's با 9's ((1+Sqrt (9))^n-(1-sqrt (9))^n)/(2^n*sqrt (9)) = (2^n+(-1)^(n+1))/3 = (2^n-(-1)^(n))/3 = a (n).- جفری آر. گودوین ، 27 مه 2011

G. F: X/(1-X-2*x^2) = G (0)/3 ؛g (k) = 1 - ((-1)^k)/(2^k - 2*x*4^k/(2*x*2^k - ((-1)^k)/g (k1))) ؛(ادامه بخش 3 نوع ، 3 مرحله).

به عنوان مثال: g (0)/3 ؛g (k) = 1 - ((-1)^k)/(2^k - 2*x*4^k/(2*x*2^k - ((-1)^k)*(k+1)/g (k+1))) ؛(ادامه بخش 3 نوع ، 3 مرحله).(پایان)

G. F: q (0)/3 ، که در آن Q (k) = 1 - 1/(4^k - 2*x*16^k/(2*x*4^k - 1/(1 + 1/(2)*4^k - 8*x*16^k/(4*x*4^k + 1/q (k + 1)))))) ؛(ادامه کسری).- سرگئی N. گلادکوفسکی ، 21 مه 2013

G. F: q (0)*x/2 ، جایی که q (k) = 1 + 1/(1 - x*(2*k + 1 + 2*x)/(x*(2*k + 2 + 2*x) + 1/q (k + 1))) ؛(ادامه کسری).- سرگئی ن. گلادکوفسکی ، 29 اوت 2013

G. F: q (0) -1 ، که در آن Q (k) = 1 + 2*x^2 + (k + 2)*x - x*(k + 1 + 2*x)/q (k + 1) ؛(ادامه کسری).- سرگئی ن. گلادکوفسکی ، 06 اکتبر 2013

a (-n) = -( -1)^n * a (n) / 2^n برای همه n در Z. -مایکل ساموس ، 18 مارس 2014

a(n) = (-1)^(n-1)*Sum_ A135278(n-1,k)*(-3)^k = (2^n - (-1)^n)/3 = (-1)^(n-1)*Sum_ (-2)^k. Equals (-1)^(n-1)*Phi(n,-2), where Phi is the cyclotomic polynomial when n is an odd prime. (For n >0.) - تام کوپلند ، 14 آوریل 2014

Dirichlet G. F: (Polylog (S ، 2) + (1 - 2^( 1-S))*Zeta (S))/3.- ایلیا گوتکوفسکی ، 27 ژوئن 2016

از Yuchun JI ، 08 آوریل 2018: (شروع)

a(n+4) = a(n) + 5*2^n, a(0) = 0, a(1..4) = [1,1,3,5]. That is to say, for n >0 ، رقم های اعداد جیکوبشتال از الگوی 1،1،3،5،1،1،3،5،1،1،3،5 الگوی پیروی می کنند.- یوچون جی ، 25 آوریل 2019

دنباله شروع از "1" تبدیل دوم معکوس (1 ، 1 ، 3 ، -5 ، 11 ، -21 ، 43 ،.) است.- گری دبلیو آدامسون ، 08 ژوئیه 2019

از کای وانگ ، 14 ژانویه 2020: (شروع)

For n > 0, 1/(2*a(n+1)) = Sum_=n>a (m)/(a (m+1)*a (m+2)).- کای وانگ ، 03 مارس 2020

For 4 > h >= 0, k >= 0 ، A (4*K+H) Mod 5 = A (H) Mod 5. - Kai Wang ، 07 مه 2020

از Kengbo Lu ، 27 ژوئیه 2020: (شروع)

a (n) = 1 + sum_ a (k) اگر n عجیب باشد ؛a (n) = sum_ a (k) اگر n حتی.

a (n) = f (n) + sum_ a (k)*f (n-k-1) ، جایی که f اعداد فیبوناچی را نشان می دهد.

a (n) = b (n) + sum_ a (k)*b (n-k) ، جایی که b (n) از طریق b (0) = 0 ، b (1) = 1 ، b (n) = 2*تعریف می شود. B (N-2).

A (2) = 3 زیرا کاشی کردن مستطیل 3 x 2 فقط 1 کاشی 1 1 1 یا یک کاشی 2 x 2 در یکی از دو موقعیت (همراه با دو کاشی 1 1 1) دارد.

کلمات A (6) = 21 طول-5 کلمه سه تری با دو حرف متوالی nonzero (نقاط برای 0)