مدل سازی SIS تصادفی: آلودگی دو پاتوژن در جوامع دو میزبان

یک پاتوژن می تواند میزبان های مختلفی را آلوده کند. به عنوان مثال ، بیماری های زونویک مانند هاری اغلب انسان و حیوانات را استعمار می کنند. در همین حال ، یک میزبان واحد گاهی اوقات می تواند به بسیاری از عوامل بیماری زا مانند مالاریا و مننژیت آلوده شود. بنابراین ، ما دو کلاس مستعد S 1 (t) و S 2 (t) را مطالعه کردیم که هر یک از آنها هنگام تعامل با دو گروه عفونی مختلف I 1 (t) و I 2 (t) می توانند آلوده شوند. مدلهای تصادفی از طریق زنجیره زمانی مارکوف زمان مداوم (CTMC) به همراه آنالوگهای قطعی آنها تدوین شدند. آمار مدل توسعه یافته با استفاده از فرآیند انشعاب چند نوع مورد بررسی قرار گرفت. از آنجا که فرض بر این بود که هر کلاس اپیدمی فقط نوع پاتوژن خود را منتقل می کند ، دو عدد تولید مثل علاوه بر عملکردهای احتمالی فرزندان نیز بدست آمد. بنابراین ، اینها ، همراه با میانگین تعداد عفونت ها ، برای برآورد احتمال انقراض استفاده شدند. جمعیت اولیه طبقات عفونی می تواند بر احتمال انقراض آنها تأثیر بگذارد. درک انقراض بیماری و شیوع بیماری می تواند منجر به مداخله سریع توسط مدیریت برای اقدامات کنترل مؤثر شود.

1. معرفی

بیماری های حیوانات مانند هاری و هانتاویروس را می توان به انسان منتقل کرد. پاتوژن های درگیر در آن باعث اپیدمی های زونوتیک می شوند [1]. از آنجا که دو یا چند میزبان در این فرآیند گنجانده شده اند ، گاهی اوقات گسترش بیماری ها به یک بیماری همه گیر چند میزبان گفته می شود [2]. به عنوان مثال ، هاری معمولاً توسط سگهای خانگی منتقل می شود [3] ، و جوندگان وحشی نقش اساسی در انتقال هانتاویروس به انسان دارند. در همین حال ، عفونت دو پاتوژن مختلف در یک میزبان واحد متداول است [4]. این امر می تواند هنگامی مشاهده شود که یک میزبان به طور همزمان توسط HIV و مالاریا [5] یا توسط وبا و حصبه [6] آلوده شود. حتی اگر بسیاری از مدلهای ریاضی توصیف پویایی این فرآیند قبلاً مورد بررسی قرار گرفته بودند [7،8،9] ، مدل های مربوط به انتقال همزمان و عفونت در میزبان های متعدد فاقد هستند. احتمال انقراض بیماری در ارتباط با چنین مدلهایی به خوبی مورد مطالعه قرار نمی گیرد. بنابراین ، این مطالعه مربوط به گسترش ایده آلودگی دو پاتوژن به جوامع دو میزبان مانند بیماری های زونوتی است که در بالا توضیح داده شد.

در مطالعات اپیدمیولوژیک ، به منظور ضبط پویایی عفونت یک پاتوژن که در یک جامعه میزبان معین پخش می شود ، دو رویکرد - تکنیک های فعال و قطعی - بیشتر مورد استفاده قرار می گیرند. همانطور که در [10،11،12] گزارش شده است ، هر دو این مزایا و مضرات خود را دارند. اگرچه در اکثر سناریوها از دو تکنیک برای تجزیه و تحلیل یک مشکل مشابه استفاده می شود ، فرمولاسیون آنها متفاوت است. مدل های تصادفی اغلب از طریق زنجیره های مارکوف زمان مداوم (CTMC) حاصل می شوند. به عنوان مثال ، برخی از نتایج شناخته شده به دست آمده توسط این تکنیک برای بررسی انواع مشکلات ، مانند مالاریا میزبان وکتور در مستعد ابتلا به- مخرب (SIS) و مدل های همه گیر- مورد بازنگری (SIR) مورد استفاده قرار گرفته است [13]. در همین حال ، مدلهای قطعی که از طریق معادلات دیفرانسیل معمولی (ODE) تدوین می شوند ، می توانند در تقریب دینامیک کلی اپیدمی در صورت بزرگ بودن جمعیت ، خوب باشند [14]. با این حال ، هنگامی که جمعیت کوچک است ، مدل های تصادفی می توانند برای گرفتن تصادفی مرتبط با سیستم مناسب تر باشند [15]. انقراض اپیدمی حتی اگر جمعیت به صورت نمایی در حال رشد باشد ، می تواند تخمین زده شود [16]. تفاوت بین مدلهای تصادفی و قطعی گاهی به صورت عددی مشخص می شود [17]. هنگامی که این دو مدل مقایسه شدند ، مدل تصادفی قادر به نشان دادن زمان تا انقراض اپیدمی طولانی تر بود [18]. مدلهای تصادفی گزارش شده است که برخی از سؤالات مهم همه گیر را از طریق برآورد پارامتر در مورد داده های موجود می پردازند [19].

کلاس مهم دیگر مدل تصادفی فرایند انشعاب است. به عنوان مثال ، یک فرآیند انشعاب چند نوع می تواند برای طیف گسترده ای از مدل های اپیدمی اعمال شود زیرا می تواند در هنگام پاسخ به سؤالات اپیدمی ، مدل های CTMC را تقریبی کند. راه حل های دقیق برای مشکلات مورد علاقه همیشه در دسترس نیست. بنابراین ، نتایج بدون علامت حاصل از فرآیند انشعاب می تواند به عنوان یک وسیله جایگزین باشد [20]. این می تواند زمانی مشاهده شود که فرمول های بدون علامت برای انقراض اپیدمی [21،22] ، مدت زمان شیوع بیماری همه گیر [23] ، و میانگین تعداد افراد عفونی [24] با تقریب CTMC با فرآیند انشعاب چند نوع بدست آمد.

نتیجه ، شیوع اپیدمی با شماره تولید مثل اساسی مرتبط است [13]. این یک نسبت مهم در مطالعات اپیدمیولوژیک است. مداخله مدیریت و همچنین اقدامات کنترل ، مربوط به چگونگی به حداقل رساندن بیماری همه گیر در کمترین زمان ممکن از شیوع است. این امر می تواند هنگامی حاصل شود که شماره تولید مثل اساسی با موفقیت به مقدار آستانه کمتر از یک کاهش یابد [12]. یک مدل شیوع اپیدمی که شامل این نسبت است برای بررسی تکه های تصادفی استفاده شد ، که از طریق آن حرکت افراد عفونی از مناطق با خطر بالاتر به افراد دارای ریسک پایین می تواند به عنوان یک استراتژی کنترل مؤثر دیگر باشد [17]. به طور مشابه ، با استفاده از شماره تولید مثل اساسی ، یک مدل تصادفی از دو پاتوژن در حال پخش مورد بررسی قرار گرفت که از طریق آن اثرات پارامترهای کلیدی مسئول گسترش باکتریهای مقاوم در بیمارستان ها مشخص شد [25]. آستانه پیش بینی انقراض همه گیر در یک کلاس عفونی واحد 1 r 0 x 0 است ، جایی که r 0 شماره تولید مثل اصلی است و x 0 تعداد اولیه جمعیت کلاس است [23]. با این حال ، این نتیجه بدون علامت نمی تواند برای چندین کلاس عفونی برگزار شود [12].

علاوه بر این ، مدل های گسسته مانند معادلات اختلاف ، که اغلب در مدل سازی گونه هایی با نسل های غیر همپوشانی (به عنوان مثال ، حشرات) استفاده می شوند [26] ، در این کار مورد استفاده قرار نمی گیرند زیرا فرض بر این است که پاتوژن های موجود در اینجا هر دو انسان و حیوانات را آلوده می کنند. بنابراین ، از مدل های تصادفی برای بررسی عفونت دو کلاس عفونی به دلیل استحکام آنها در محاسبه انقراض بیماری استفاده می شود. این می تواند با تقریب فرایند انشعاب چند نوع از طریق احتمالات انتقال حاصل شود. مدل تصادفی مورد استفاده در این مطالعه از نوع SIS است. نوسانات محیطی این مدل برای سرکوب شیوع بیماری [27،28،29] ، تعیین همزیستی دو بیماری عفونی [30] و تخمین طول شیوع بیماری اپیدمی گزارش شده است [31]. در تلاش برای برآورد احتمال انقراض دو کلاس عفونی که به جوامع دو میزبان آلوده می شوند ، ما (1) سیستم قطعی ODE را با استفاده از احتمالات انتقال مدلهای CTMC ، (2) انقراض اپیدمی و میانگین را تعیین کردیم. تعداد عفونت ها با استفاده از فرمول های بدون علامت حاصل از تکنیک فرآیند انشعاب چند نوع ، و (3) مدل های تصادفی و همتایان قطعی آنها را از طریق شبیه سازی های عددی مقایسه می کنند.

2. مواد و روشها

2. 1. مدل زنجیره مارکوف زمان پیوسته

فرض کنید I 1 (t) و I 2 (t) اندازه جمعیت دو طبقه عفونی هستند که دو جامعه میزبان حساس S1 (t) و S2 (t) را آلوده می کنند. این را می توان به عنوان زنجیره مارکوف زمان پیوسته نوشت [32]،< S 1 ( t ) , I 1 ( t ) , S 2 ( t ) , I 2 ( t ) ; t ≥ 0 >، جایی که t پارامتر پیوسته فرآیند است. با فرض احتمال تعداد جمعیت چهار طبقه، گرفتن n 1 , n 2 , n 3 , n 4 برابر است با

p (n 1 , n 2 , n 3 , n 4 ; t ) = p S 1 (t ) = n 1 , I 1 (t ) = n 2 , S 2 (t ) = n 3 , I 2 (t )= n 4 ; تی ،

به موجب آن n 1 = n 2 = n 3 = n 4 = 0 , 1 , 2 , 3 , .... نوشتن واکنش های شماتیک سیستم داده شده به ما اجازه می دهد تا مدل های قطعی را از طریق احتمالات انتقال CTMC استخراج کنیم.

سرعتی که دو کلاس عفونی I 1 (t ) و I 2 (t ) را می توان بازیابی کرد به ترتیب Φ 1 و Φ 2 است.

دو کلاس حساس S 1 (t ) و S 2 (t ) می توانند به کلاس های عفونی I 1 (t ) و I 2 (t ) با نرخ انتقال بیماری β 11 ، β 12 ، β 21 وβ 22، به طوری که

با در نظر گرفتن زمان بینهایت کوچک δ t، رویدادهایی را که در بازه (t، t + δ t) اتفاق می افتند، همراه با نرخ های انتقال متناظر آنها [33] فهرست می کنیم (جدول 1 را ببینید).

با جایگزینی احتمالات ارائه شده در جدول 1، معادله اصلی زیر را به دست می آوریم که به عنوان معادله دیفرانسیل رو به جلو Kolmogorov شناخته می شود:

d p (n 1 , n 2 , n 3 , n 4 ; t ) d t = − p ( n 1 , n 2 , n 3 , n 4 ; t ) Φ 1 n 2 + Φ 2 n 4 + β 11 n 1 n2 + β 12 n 1 n 4 + β 21 n 2 n 3 + β 22 n 3 n 4 + p ( n 1 , n 2 + 1 , n 3 , n 4 ; t ) Φ 1 ( n 2 + 1 ) +p (n 1 , n 2 , n 3 , n 4 + 1 ; t ) Φ 2 ( n 4 + 1 ) + p ( n 1 + 1 , n 2 − 1 , n 3 , n 4 ؛ t ) β 11 (n 1 + 1 ) ( n 2 − 1 ) + p ( n 1 + 1 , n 2 , n 3 , n 4 − 1 ؛ t ) β 12 ( n 1 + 1 ) ( n 4 − 1 ) + p ( n1 , n 2 − 1 , n 3 + 1 , n 4 ؛ t ) β 21 ( n 2 − 1 ) ( n 3 + 1 ) + p ( n 1 , n 2 , n 3 + 1 , n 4 − 1 . t ) β 22 ( n 3 + 1 ) ( n 4 - 1 ) .

معادله اصلی (2) را می توان با کمک تابع مولد احتمال زیر ساده کرد:

F ( x 1 , x 2 , x 3 , x 4 ; t ) = ∑ n 1 ∞ ∑ n 2 ∞ ∑ n 3 ∞ ∑ n 4 ∞ p ( n 1 , n 2 , n 3 , t n )1 n 1 x 1 n 2 x 3 n 3 x 4 n 4 .

با در نظر گرفتن مشتق معادله (3) نسبت به t و جایگزینی معادله (2) در نتیجه به دست آمده، معادله دیفرانسیل جزئی زیر را بدست می آوریم:

∂ f (x 1 ، x 2 ، x 3 ، x 4 ؛ t) ∂ t = φ 1 (1 - x 2) ∂ f (x 1 ، x 2 ، x 3 ، x 4 ؛ t) ∂ x 2 + φ 2 (1 - x 4) ∂ F (x 1 ، x 2 ، x 3 ، x 4 ؛ t) ∂ x 4 + β 11 x 2 (x 2 - x 1) ∂ 2 f (x 1 ، x 2 ، x 3 ، x 4 ؛ t) ∂ x 1 ∂ x 2 + β 12 x 4 (x 4 - x 1) ∂ 2 f (x 1 ، x 2 ، x 3 ، x 4 ؛ t) ∂ x 1 ∂ x 4 + B 21 x 2 (x 2 - x 3) ∂ 2 f (x 1 ، x 2 ، x 3 ، x 4 ؛ t) ∂ x 2 ∂ x 3 + b 22 x 4 (x 4 - x 3) ∂ 2 f (x 1 ، x 2 ، x 3 ، x 4 ؛ t) ∂ x 3 ∂ x 4.

با استفاده از تابع ژنتیکی لحظه ای M (θ 1 ، θ 2 ، θ 3 ، θ 4 ؛ t) = F (E θ 1 ، E θ 2 ، E θ 3 ، E θ 4) [34] ، معادله (4) CAN به شرح زیر نوشته شود:

∂ M (θ 1 ، θ 2 ، θ 3 ، θ 4 ؛ t) ∂ t = φ 1 e - θ 2 - φ 1 ∂ m (θ 1 ، θ 2 ، θ 3 ، θ 4 ؛ t) ∂ θ 2 + φ 2 e - θ 4 - φ 2 ∂ m (θ 1 ، θ 2 ، θ 3 ، θ 4 ؛ t) ∂ θ 4 + β 11 e - θ 1 e θ 2 - β 11 ∂ 2 m (θ 1 ، θ 2 ، θ 3 ، θ 4 ؛ t) ∂ θ 1 ∂ θ 2 + β 12 e - θ 1 e θ 4 - β 12 ∂ 2 m (θ 1 ، θ 2 ، θ 3 ، θ 4 ؛ t) ∂ θ 1 ∂ θ 4 + β 21 e - θ 3 e θ 2 - β 21 ∂ 2 m (θ 1 ، θ 2 ، θ 3 ، θ 4 ؛ t) ∂ θ 2 ∂ θ 3 + β 22 E - θ 3 e θ 4 - B 22 ∂ 2 M (θ 1 ، θ 2 ، θ 3 ، θ 4 ؛ t) ∂ θ 3 ∂ θ 4.

با توجه به اینکه ∂ r m (0 ؛ t) ∂ t = e (x i r) ، ما ∂ m (θ 1 ، θ 2 ، θ 3 ، θ 4 ؛ t) ∂ θ i |i = 0 از (5) ، برای i = 1 ، 2 ، 3 ، 4 و r = 1 ، 2. این معادلات زیر را نشان می دهد:

d e (x 1 (t)) d t = - β 11 e (x 1 (t) x 2 (t)) - β 12 e (x 1 (t) x 4 (t) d e (x 2 (t))) d t = - φ 1 e (x 2 (t)) + β 11 e (x 1 (t) x 2 (t) + β 21 e (x 2 (t) x 3 (t)) d e (x 3 (t ) D T = - β 21 E (x 2 (t) x 3 (t)) - β 22 E (x 3 (t) x 4 (t)) d e (x 4 (t)) d t = - φ 2 e (x 4 (t)) + β 12 e (x 2 (t) x 4 (t)) + b 22 e (x 3 (t) x 4 (t)).

D S 1 (T) D T = - β 11 I 1 (T) + β 12 I 2 (T) S 1 (T) D I 1 (T) D T = β 11 S 1 (T) + β 21 S 2 (T ) i 1 (t) - φ 1 i 1 (t) d s 2 (t) d t = - β 21 i 1 (t) + β2 i 2 (t) s 2 (t) d i 2 (t) d t = β 12 S 1 (t) + β 22 S 2 (t) I 2 (t) - φ 2 i 2 (t).

معادلات دیفرانسیل محفظه (6) پویایی دو کلاس عفونی I 1 (t) و I 2 (t) را با دو گروه مستعد 1 (t) و S 2 (t) توصیف می کند. تولد و مهاجرت افراد توسط مدل اسیر نمی شود.

اگر نرخ ریکاوری ، φ 1 و φ 2 در این فرآیند در نظر گرفته نشود ، ما معادله کارشناسی ارشد زیر را بدست می آوریم:

D P (n 1 ، n 2 ، n 3 ، n 4 ؛ t) d t = - p (n 1 ، n 2 ، n 3 ، n 4 ؛ t) β 11 n 1 n 2 + β 12 n 1 n 4 + β21 N 2 N 3 + β 22 N 3 N 4 + P (N 1 + 1 ، N 2 - 1 ، N 3 ، N 4 ؛ T) β 11 (N 1 + 1) (N 2 - 1) + P (n 1 + 1 ، n 2 ، n 3 ، n 4 - 1 ؛ t) β 12 (n 1 + 1) (n 4 - 1) + p (n 1 ، n 2 - 1 ، n 3 + 1 ، n 4؛ t) β 21 (n 2 - 1) (n 3 + 1) + p (n 1 ، n 2 ، n 3 + 1 ، n 4 - 1 ؛ t) β 22 (n 3 + 1) (n 4-1)

با استفاده از تکنیک های مشابه برای معادله (7) ، ما سیستم زیر از معادلات دیفرانسیل معمولی را دریافت می کنیم:

D S 1 (T) D T = - β 11 I 1 (T) + β 12 I 2 (T) S 1 (T) D I 1 (T) D T = β 11 S 1 (T) + β 21 S 2 (T) I 1 (T) D S 2 (T) D T = - β 21 I 1 (T) + β 22 I 2 (T) S 2 (T) D I 2 (T) D T = β 12 S 1 (T) + β 22 S 2 (t) I 2 (t).

بنابراین ، معادلات (8) پویایی دو کلاس عفونی را به استثنای اصطلاحات بهبودی در محفظه های بیماری توصیف می کنند.

2. 2شماره تولید مثل اساسی

همانطور که قبلاً معرفی شد ، تعداد اصلی تولید مثل آستانه مهمی برای اندازه گیری نحوه گسترش بیماری ها در جوامع است. هنگام تعیین تعداد تولید مثل اصلی مدل مشتق شده (6) ، از ماتریس ρ (k) = f v-1 استفاده کردیم که به آن به عنوان ماتریس نسل بعدی گفته می شود. در حالی که F نشان دهنده ماتریس میزان عفونت است ، V میزان انتقال در محفظه های بیماری است. اینها را می توان با استفاده از خطی سیستم معادلات دیفرانسیل معمولی در نزدیکی بیماری بدون تعادل [21،35] به شرح زیر به دست آورد: به شرح زیر: