توابع مثلثاتی

در اینجا فرض خواهیم کرد که شما با زاویه ها و نحوه اندازه گیری آنها ، به ویژه با رادیان آشنا هستید. اگر مطمئن نیستید ، می توانید به این یادداشت نگاهی بیندازید.

روش های مختلفی برای تعریف توابع مثلثاتی وجود دارد. ما به طور خلاصه دو مورد از آنها را بر اساس ایده های هندسی به یاد خواهیم آورد. سپس به خواص عملکردهای مثلثاتی نگاه خواهیم کرد ، برخی از هویت های محرک را به یاد می آوریم ، سعی می کنیم از معکوس های آنها حس کنیم و با یک یادداشت کوتاه در مورد Secant و Cosecant نتیجه بگیریم.

تعاریف هندسی

واحد Cirlce. بگذارید α هر زاویه ای باشد. یک دایره واحد را در دشت در نظر بگیرید و پرتوی از مبدا در زاویه α می رود. بگذارید مختصات تقاطع اشعه و دایره واحد باشد. سپس تعریف می کنیم

البته برخی از تعاریف در صورت احترام معنی ندارند.

واضح است که ما در آن زمان داریم

توابع (secant) و (cosecant) در روزهای قدیم بسیار محبوب بودند که مردم هنوز مجبور به محاسبه چیزها به تنهایی بودند ، زیرا آنها محاسبات را با عملکردهای ماشه ساده می کردند. امروز آنها بیشتر فراموش شده اند و ما آنها را به خاطر کامل بودن در اینجا گنجانده ایم. ما در پایان این بخش به آنها باز خواهیم گشت.

توجه داشته باشید که وقتی مانند این تعریف می شود ، تمام این کارکردها تحت بازرسی دقیق تر مماس و cotangent قرار دارند

مثلث زاویه ای راست. بگذارید α زاویه ای از فاصله باشد ، یک مثلث زاویه ای راست خودسرانه با زاویه دیگر برابر با α در نظر بگیرید. سپس تعاریف مردمی را داریم:

این توابع با همان فرمول های فوق به هم متصل می شوند. چگونه می توانیم این تعاریف را به هر زاویه α گسترش دهیم؟ابتدا تعریف می کنیم

برای α از ما تعریف می کنیم و

برای α از ما تعریف می کنیم و

بنابراین ما با تکرار این دوره اساسی ، سینوسی و کسین می گیریم و سپس آنها را به همه زاویه ها گسترش می دهیم. توابع دیگر را می توان با استفاده از فرمول های سینوسی و کسین و فرمول های فوق تعریف کرد.

ما این بخش را با یادآوری مقادیر سینوسی و کازین برای زوایای محبوب نتیجه می گیریم:

یک روش ساده برای یادآوری این موارد با استفاده از دست چپ وجود دارد.

یکی دیگر از اظهارات عملی ، به جای نوشتن ، معمولاً برای سایر توابع ماشه می نویسیم.

خصوصیات عملکردهای مثلثاتی

سینوسدامنه:

این عملکرد در دامنه آن ، محدود و متقارن ، یعنی عجیب است ، زیرا ما نیز داریم

از تناوبی ما

صفر نقاط سینوسی نقاط شکل است که در آن k هر عدد صحیح است. اینها همچنین نقاط تورم هستند. اکستای محلی در نقاط قرار دارد

در مورد محدودیت در نقاط پایانی دامنه ، محدودیت های سینوسی در بی نهایت و بی نهایت منفی وجود ندارد.

Cosineدامنه:

این عملکرد در دامنه آن ، محدود و متقارن ، یعنی حتی ، از آنجا که ما نیز داریم ، مداوم است

از تناوبی ما

نقاط صفر از كسین نقاطی از فرم هستند كه k هر عدد صحیح است. اینها همچنین نقاط تورم هستند. اکستای محلی در نقاط قرار دارد

در مورد محدودیت های موجود در نقاط پایانی دامنه ، محدودیت های کاسین در بی نهایت و بی نهایت منفی وجود ندارد.

مماسدامنه:

این عملکرد در دامنه آن مداوم است ، محدود نیست و متقارن ، یعنی عجیب است ، زیرا ما نیز داریم

صفر نقاط مماس نقاط شکل است که در آن k هر عدد صحیح است. اینها همچنین نقاط تورم هستند. هیچ اکستای محلی وجود ندارد.

در مورد محدودیت های موجود در نقاط پایانی دامنه ، محدودیت های مماس در بی نهایت و بی نهایت منفی معنی ندارد زیرا دامنه هیچ محله ای بی نهایت یا بی نهایت منفی را شامل نمی شود. محدودیت در نقاط پایانی محدود دامنه وجود ندارد ، اما ما در آنجا محدودیت های یک طرفه داریم:

cotangentدامنه:

این عملکرد در دامنه آن مداوم است ، محدود نیست و متقارن ، یعنی عجیب است ، زیرا ما نیز داریم

صفر نقاط cotangent نقاطی از فرم هستند که k هر عدد صحیح است. اینها همچنین نقاط تورم هستند. هیچ اکستای محلی وجود ندارد.

در مورد محدودیت در نقاط پایانی دامنه ، محدودیت های cotangent در بی نهایت و بی نهایت منفی هیچ معنا ندارد زیرا دامنه شامل هیچ محله ای بی نهایت یا بی نهایت منفی نیست. محدودیت در نقاط پایانی محدود دامنه وجود ندارد ، اما ما در آنجا محدودیت های یک طرفه داریم:

هویت

ابتدا برخی از هویت های محبوب برای سینوسی و کسین.

هویت های زیر محبوبیت کمتری دارند ، اما گاهی اوقات بسیار مفید هستند.

سین و کازین را می توان با استفاده از نمایی و اعداد پیچیده نیز بدست آورد (یا حتی تعریف شده).

سرانجام ، گاهی اوقات این ترفند نیز مفید است.

ما یک مشکل آشکار داریم که در این صورت می توانیم اگر و اگر می توانیم از آن استفاده کنیم

اکنون برخی از هویت های محبوب برای مماس و cotangent.

از آنجا که سینوسی و کسین را می توان با استفاده از نماهای پیچیده بیان کرد ، در مورد مماس و cotangent نیز صادق است.

سرانجام ، ما فرمول هایی را نشان خواهیم داد که مربوط به سینوز/کسین و مماس است.

توابع مثلثاری معکوس

وقتی به نمودارهای بالا نگاه می کنیم ، بلافاصله می بینیم که هیچ یک از چهار عملکرد اصلی ماشه 1-1 نیست ، بنابراین آنها معکوس ندارند. از طرف دیگر ، از نظر عملی ، نوعی معکوس بسیار مفید خواهد بود ، و در واقع مردم مدتها قبل از آنکه ریاضیدانان با مفهوم معکوس روبرو شوند ، زاویه هایی را به طرف های مثلث اختصاص می دادند. برای انجام این کار به درستی از ترفند معمول استفاده می کنیم ، توابع ماشه را به فواصل زمانی که در حال حاضر 1-1 هستند محدود می کنیم. ما فواصل زمانی را انتخاب خواهیم کرد تا آنها تا حد امکان بزرگ باشند (به طوری که آنها کل دامنه را بپوشانند) و همچنین به زاویه های "معقول" می دهند ، به معنای حدود 0. در واقع ، یادگیری این که زاویه در یک مثلث عملی تر است30 درجه است و می آموزد که 750 درجه است (ما باید در واقع از رادیان استفاده کنیم ، اما تصور و تایپ در وب آسان تر است ، بنابراین من در اینجا یک استثناء کردم).

توابع مثلثات معکوس. آنها به شرح زیر تعریف شده اند. ابتدا چهار عملکرد مثلثاتی را به فواصل زمانی که نشان داده شده است محدود می کنیم.

سپس بر روی این محدودیت ها معکوس را در نظر می گیریم. آنها به آنها قوس سینوسی (قوس دار) ، قوس قوس (Arccos اشاره شده) ، مماس قوس (نشانگر Arctan) و قوس قوس (Arccot اشاره شده) گفته می شود. نمودارهای این توابع در اینجا وجود دارد:

اکنون ویژگی های اصلی این توابع ماشه معکوس را لیست می کنیم. همه آنها مداوم ، یکنواخت و محدود هستند.

توجه: بسیاری از نویسندگان (و بیشتر سازندگان ماشین حساب) در واقع از یک علامت متفاوت استفاده می کنند ، یعنی و غیره. این نماد بسیار گمراه کننده است و بسیاری از دانش آموزان در واقع یک شباهت کاملاً قوی بین و مثلاً برای مربع سینوسی می بینند. از نظر منطقی آنها انتظار دارند که این امر در واقع ، معکوس به سینوسی و عملکردهای کاملاً متفاوت است. اگرچه یک توجیه مناسب برای این نماد وجود دارد (به نمایشگاه ما از عملکردهای معکوس در تئوری - عملکردهای واقعی مراجعه کنید) ، به دلیل این سوء تفاهم ها بسیار تاسف آور است. از آنجا که یک جایگزین کاملاً قابل قبول وجود دارد که به طور گسترده ای نیز شناخته شده است ، یعنی آن چیزهای قوس ، ما همیشه در اینجا از آنها استفاده خواهیم کرد.

نکته: بگذارید به سؤال اصلی برگردیم: به ما شماره y داده می شود و می خواهیم شماره X را رضایت بخش بیابیم ، مثلاً اگر این x از منطقه ای است که ما لحظه ای قبل سین را محدود کردیم ، پس راه حل داریمچه می شود اگر به دلایلی ما از قسمت دیگری از خط واقعی به X نیاز داشته باشیم؟یا از دیدگاه دیگر گرفته شده ، اگر سینوس را به یک بازه معقول متفاوت محدود کنیم ، فرمول عملکرد معکوس به چنین سین محدودی چیست؟(و البته همچنین به Cosine و غیره) فرمول های زیر صحیح است:

بگذارید اگر برای مقداری عدد صحیح k باشد ، پس

اگر برای برخی از عدد صحیح k ، پس

بگذارید اگر برای مقداری عدد صحیح k باشد ، پس

اگر برای برخی از عدد صحیح k ، پس

بگذارید اگر برای مقداری عدد صحیح k باشد ، پس

بگذارید اگر برای مقداری عدد صحیح k باشد ، پس

فرمول های بسیار جالبی در رابطه با توابع TRIG و معکوس آنها وجود دارد. آنها به ندرت مورد استفاده قرار می گیرند ، اما آنها بسیار زیبا هستند و ما نمی توانیم در برابر قرار دادن آنها در اینجا مقاومت کنیم.